NOVA EXPLICAÇÃO DA SOMA DOS ELEMENTOS DEUMA PG: DIFERENTE DA PROPOSTA NOS LIVROS

 PORQUE DA FÓRMULA DE UMA PG        Sn = a₁.(qⁿ - 1)

                                                                                         q - 1         

Vejamos as observações:
S_n= a₁.q⁰ + a₂.q¹ ....      ou S_n= a₁.( q⁰ +q¹ +q² + q³ .....q^n-1)
Logo Sn é proporcional  a a₁ e também a (q⁰ + q¹ +q² + q³ .....q^n-1) então temos que determinar (q⁰ + q¹ +q² + q³ .....q^n-1)que é também uma PG com 1° termo igual a 1 (porque todo número elevado a zero é igual a 1).
Lembrando S_n=(q⁰) é a de 1 termo e por ai vai , S_n=(q⁰+q¹) dois termos.
Vamos utilizar o método da observação:
Quando q for igual a 2 por exemplo, temos:

A)     PG de 1 termo com q=2:  Sn=q⁰ =2⁰= 1      obs: = 2¹-1=1    também igual 1

B)     PG de 2 termos:  Sn= q^o +q¹ =2⁰+2=1+2=3    obs: 2²-1= 4-1= 3 também igual 3

C)     PG de 3 termos: Sn=q⁰ +q¹ +q² =1+2+4=7     obs: 2^³-1= 8-1= 7 também igual 7

Encontramos aqui através da observação uma equação que determina o valor de Sn para q=2: Numa PG de razão 2 o valor da soma de todos os elementos é sempre 2 elevado ao número de elementos e depois subtrai-se 1 (qⁿ-1).       1^a PG S_n=qⁿ-1,  2^a PG S_n=qⁿ-1,  3^a PG  S_n=qⁿ-1, todas com iguais os resultados.

Vamos realizar os cálculos com a fórmula da PG Sn = a₁.(qⁿ - 1)

                                                                                                     q - 1         

 Sn = a₁.(qⁿ - 1)    Sn=(2¹-1)/2-1= 1  igual a   S_n=qⁿ-1    S_n== 2¹-1=1

            q - 1         

Sn = a₁.(qⁿ – 1)      Sn=(2²-1)/2-1=3   igual a   S_n=qⁿ -1    S_n=2²-1=3-1= 3

           q - 1         

Sn = a₁.(qⁿ - 1)     Sn=(2³-1)/2-1=7    igual a  S_n=qⁿ -1    S_n=2^³ -1=8 -1=7

           q - 1         

Todas corretas utilizando S_n=qⁿ-1 no de caso q=2, vamos ver com 3.
Quando q for igual a 3 por exemplo, utilizando S_n=qⁿ-1 ,  temos:

D)    PG de 1 termo:  q=3 Sn=q⁰ =3⁰=1    obs: = 3¹-1=3-1=2  implica Sn=2 

E)     PG de 2 termos: Sn= q^o+q¹=1+3=4      obs: 3²-1= 9-1 8 implica Sn=8

F)      PG de 3 termos: Sn=q⁰+q¹+q²=1+3+9=13    obs: 3^³-1=27-1=26 implica Sn=26

Vamos realizar os cálculos com a fórmula da PG Sn = a₁.(qⁿ - 1)

                                                                                                     q - 1         

 Sn = a₁.(qⁿ - 1)    Sn=(3¹-1)/3-1= 1  diferente de   S_n=qⁿ-1    S_n==3 -1=2

           q - 1         

Sn = a₁.(qⁿ – 1)   Sn=(3²-1)/3-1=4 diferente de  S_n=qⁿ -1 S_n=3²-1= 9-1=8

          q - 1         

Sn = a₁.(qⁿ - 1)  Sn=(3³-1)3-1=13 diferente de S_n=qⁿ -1 S_n= 3^³-1=27-1=26

        q - 1         

                             
Todas  incorretas utilizando S_n=qⁿ-1 no de caso q=3, vamos ver com 4, mas note que é o dobro do valor da fórmula correta da PG utilizando-se S_n=qⁿ-1. Note que S_n=qⁿ-1, no caso de q=3 Sn vai ser o dobro, ou seja, é multiplicado por 2, mas se fizermos isso dividirmos por  q-1,ou seja  3-1=2, porque 3 a razão dela é ai ela ficará correta, mas teremos sempre que dividir pela razão menos 1, nesse caso 3-1=2, dividimos por 2


Quando q for igual a 4 por exemplo, temos:

G)    PG de 1 termo:  q=4  Sn=4⁰=1      obs: = 4¹-1= 3 implica Sn= 3

H)    PG de 2 termos:  Sn=q⁰+q¹=1+4=5    obs: 4²-1= 16-1=15 implica Sn=15

I)       PG de 3 termos:   Sn=q⁰+q¹+q²=1+4+16=21   obs: 4^³-1=64-1= 63 implica Sn= 63

Vamos realizar os cálculos com a fórmula da PG Sn = a₁.(qⁿ - 1)
                                                                                                  q - 1         

Sn = a₁.(qⁿ - 1)    Sn=(4¹-1)/4-1= 1  diferente de   S_n=qⁿ-1    S_n== 4¹ -1= 3

               q - 1         

Sn = a₁.(qⁿ – 1)  Sn=(4²-1)/4-1=5  diferente de S_n=qⁿ  -1 S_n 4² -1= 16-1= 15

            q - 1         

Sn = a₁.(qⁿ - 1)  Sn=(4³-1)4-1=21 diferente de  S_n=qⁿ  -1 S_n= 4^³ -1= 64-1= 63

            q - 1       

  
Todas  incorretas utilizando S_n=qⁿ-1 no de caso q=4, mas note que é o triplo do valor da fórmula correta da PG utilizando-se S_n=qⁿ-1.  Note que S_n=qⁿ-1, no caso de q=4 Sn vai ser o triplo, ou seja, é multiplicado por 3, mas se fizermos isso dividirmos por  q-1,ou seja  4-1=3, porque 4 é a razão dela ai ela ficará correta,  mas teremos sempre que dividir pela razão menos 1, nesse caso 4-1=3, dividimos por 3.
O que podemos deduzir é que a fórmula S_n=qⁿ-1 está parcialmente correta. Após os cálculos com q=3 e q=4 constata-se que acontece uma divisão do número qⁿ-1, que é sempre dividido pela equação q-1,  ela fica oculta no caso do número q=2, porque q-1 é 2-1=1, e vai ficar sempre oculto, mas a partir  do número 3 e 4 tirasse todas as dúvidas.

Então fica Sn = a₁.(qⁿ - 1)   porque como falei a₁ é proporcional a S_n.

                              q - 1